回溯算法

回溯算法

回溯的本质是穷举,穷举所有可能,然后选出想要的答案,如果想让回溯法高效一些,需要进行剪枝操作。

回溯法,一般可以解决如下几种问题:

  • 组合问题:N个数里面按一定规则找出k个数的集合
  • 切割问题:一个字符串按一定规则有几种切割方式
  • 子集问题:一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
  • 排列问题:N个数按一定规则全排列,有几种排列方式
  • 棋盘问题:N皇后,解数独等等

组合不强调元素顺序,排列强调元素顺序

即 不同顺序的同样元素集合 算作排列,但不算组合

参考:
代码随想录

1、前言

看到回溯,感觉和 DFS(深度优先搜索)区别不太大,两者其实是包含关系。

回溯搜索是 DFS 的一种,对于某一个搜索树来说(搜索树记录路径和状态判断),其主要的区别是:

  • 回溯法在求解过程中不保留完整的树结构,而深度优先搜索则记下完整的搜索树
  • 为了减少存储空间,在深度优先搜索中,用标志的方法记录访问过的状态,这种方法使得深度优先搜索法与回溯法没什么区别

2、组合问题

N个数里面按一定规则找出k个数的集合。

直接 DFS 暴搜,如果满足条件返回,再加上适当剪枝即可。

如果是一个集合来求组合的话,就需要startIndex,例如:回溯算法:求组合问题! (opens new window)回溯算法:求组合总和! (opens new window)
如果是多个集合取组合,各个集合之间相互不影响,那么就不用startIndex,例如:回溯算法:电话号码的字母组合

例题:77. 组合 - 力扣(LeetCode)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
class Solution {
public:
vector<vector<int>> ans;
vector<int> tmp;

void dfs(int n, int k, int idx) {
if (tmp.size() == k) {
ans.push_back(tmp);
return;
}
for (int i = idx; i <= n - (k - tmp.size()) + 1; i++) {
tmp.push_back(i);
dfs(n, k, i + 1);
tmp.pop_back();
}
}

vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
dfs(n, k, 1);
return ans;
}
};

3、切割问题

一个字符串按一定规则有几种切割方式

具体算法类似组合问题,判断函数比较复杂。

例题:131. 分割回文串 - 力扣(LeetCode)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
class Solution {
public:
vector<vector<string>> ans;
vector<string> tmp;

bool check(string s, int start, int end) {
for (int i = start, j = end; i < j; i++, j--) {
if (s[i] != s[j]) return false;
}
return true;
}

void dfs(string s, int idx) {
if (idx >= s.size()) {
ans.push_back(tmp);
return;
}
for (int i = idx; i < s.size(); i++) {
if (!check(s, idx, i)) continue;
tmp.push_back(s.substr(idx, i - idx + 1));
dfs(s, i + 1);
tmp.pop_back();
}
}

vector<vector<string>> partition(string s) {
dfs(s, 0);
return ans;
}
};

4、子集问题

一个N个数的集合里有多少符合条件的子集

如果把 子集问题、组合问题、分割问题都抽象为一棵树的话,那么组合问题和分割问题都是收集树的叶子节点,而子集问题是找树的所有节点。

例题:78. 子集 - 力扣(LeetCode)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
class Solution {
public:
vector<vector<int>> ans;
vector<int> tmp;

void dfs(vector<int>& nums, int idx) {
ans.push_back(tmp);
if (idx >= nums.size()) return;
for (int i = idx; i < nums.size(); i++) {
tmp.push_back(nums[i]);
dfs(nums, i + 1);
tmp.pop_back();
}
}

vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
dfs(nums, 0);
return ans;
}
};

5、排列问题

N个数按一定规则全排列,有几种排列方式

排列是区分顺序的,不同顺序的集合算不同排列

和组合问题区别在每次循环的起始位置都是 0,同时用 vis 数组来记录状态。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
class Solution {
public:
vector<vector<int>> ans;
vector<int> tmp;

void dfs(vector<int>& nums, vector<bool>& vis) {
if (tmp.size() == nums.size()) {
ans.push_back(tmp);
return;
}
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
if (vis[i]) continue;
tmp.push_back(nums[i]);
vis[i] = true;
dfs(nums, vis);
vis[i] = false;
tmp.pop_back();
}
}

vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
vector<bool> vis(nums.size(), false);
dfs(nums, vis);
return ans;
}
};

6、棋盘问题

N皇后,解数独等等

给回溯函数加上 bool 返回值,找到一组成功解则返回。

例题:51. N 皇后 - 力扣(LeetCode)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
class Solution {
public:
vector<vector<string>> ans;

/*
* 递归遍历行
* 循环遍历列
*/
void dfs(int row, int n, vector<string>& chess) {
if (row == n) {
ans.push_back(chess);
return;
}
for (int col = 0; col < n; col++) {
if (check(row, col, n, chess)) {
chess[row][col] = 'Q';
dfs(row + 1, n, chess);
chess[row][col] = '.';
}
}
}

/*
*不能同行(递归过程中进行了同行检查)
*不能同列
*不能同斜线 (45度和135度角)
*/
bool check(int row, int col, int n, vector<string>& chess) {
// 检查列,剪枝
for (int i = 0; i < row; i++) {
if (chess[i][col] == 'Q') return false;
}
// ∠45°
for (int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
if (chess[i][j] == 'Q') return false;
}
// ∠135°
for (int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
if (chess[i][j] == 'Q') return false;
}
return true;
}

vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
vector<string> chess(n, string(n, '.'));
dfs(0, n, chess);
return ans;
}
};

例题:37. 解数独 - 力扣(LeetCode)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
class Solution {
public:
bool check(int row, int col, int val, vector<vector<char>>& board) {
for (int j = 0; j < 9; j++) { // 检查列
if (board[row][j] == val) return false;
}
for (int i = 0; i < 9; i++) { // 检查行
if (board[i][col] == val) return false;
}
// 检查 3x3
int nRow = (row / 3) * 3;
int nCol = (col / 3) * 3;
for (int i = nRow; i < nRow + 3; i++) {
for (int j = nCol; j < nCol + 3; j++)
if (board[i][j] == val) return false;
}
return true;
}

bool dfs(vector<vector<char>>& board) {
for (int i = 0; i < board.size(); i++) {
for (int j = 0; j < board[0].size(); j++) {
if (board[i][j] != '.') continue;
for (char k = '1'; k <= '9'; k++) {
if (check(i, j, k, board)) {
board[i][j] = k;
if (dfs(board)) return true;
board[i][j] = '.';
}
}
return false; // 9 个数都不行
}
}
return true;
}

void solveSudoku(vector<vector<char>>& board) { dfs(board); }
};
作者

SukiEva

发布于

2021-12-26

更新于

2021-12-30

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

评论


取次花丛懒回顾,半缘修道半缘君。

Your browser is out-of-date!

Update your browser to view this website correctly.&npsb;Update my browser now

×